高校三年～大学教養課程程度の数学と物理についてまとめたものです。
集合 F に加法・乗法が定義され、それらに関して以下の公理が満たされるとき、F は「体」であるという。
(I) 加法に関する公理
(Ⅱ) 乗法に関する公理
(Ⅲ) 分配法則
(ⅰ)の証明
X,Y を集合とする。
\( ある規則 f により、任意の x \in X に対し、B の元 f(y) が一つ定まるとき、この規則 f を X から Y への写像という。f が X から Y への写像であることを、f: X→Y, x \mapsto f(x) \ (x \in X, f(x) \in Y) などと書く。X を定義域、Y を値域という。定義域を区間 I、値域を \mathbb{R} とする写像を、「I上で定義された関数」という。\)
\( f: X→Y, A \subset X に対し、f(A):= {f(x) | x \in A} で定められる f(A) \subset Y を、「fによるAの像」という。\)
\( \また、B \subset Y に対し、f^{-1}(B):= {x \in X | f(x) \in B } \ f(X)=Y なら、f は全射であるという。\)
\(f(x)=f(x') \implies x=x' \ (x,x' \in X) であるとき、f は単射であるという。 \)
全射かつ単射であることを全単射であるという。またこれを一対一対応であるという。
\( (嚙み砕いて言い換えると、全射であるとは、Y の全ての要素に対し、それに対応する X の要素があることである。単射であるとは、Y の要素のうち f による X の要素の像であるものそれぞれについて、対応する X の要素はただ一つであることである。そして、全単射であるとは、Y の全ての要素に対し、それに対応する X の要素がただ一つあることである。) \)
離散型の関数による写像の例でいえば、
xy平面上の関数のグラフで考えれば、区間内で広義単調増加、または広義単調減少な関数においては、x座標と y 座標が一対一対応している。
\( f が単射であり、y \in f(x) であれば、y=f(x) をみたす x \in X がただ一つ存在する。このとき、x=f^{-1}(y) と記し、f^{-1}: f(x)→X \ (y \mapsto f^{-1}(y) ) を f の逆写像 という。\)
\( Z を集合、g:Y→Z を写像とする g \circ f: X→Z \ (x \mapsto g(f(x)) ) を f と g の合成という。\)
\(任意の x \in A について x \leq M ならば、M は A の上界であるという。 \)
\(任意の x \in A について m \leq x ならば、m は A の下界であるという。 \)
Aが上界を持つとき、Aは「上に有界である」という。
Aが下界を持つとき、Aは「下に有界である」という。
上にも下にも有界であることを、単に有界であるという。
\(M \in A ならば、M を A の最大値という。 \)
\(m \in A ならば、m を A の最小値という。 \)
\(実数全体の集合 \mathbb{R} に、+∞・-∞ の二つを加えたものを、拡大実数という。 \)
\(拡大実数を表す文字としては \var{\mathbb{R}} がしばしば用いられるが、この表現は補集合と紛らわしいのでここでは用いない。\)
\(A \subset (拡大実数) とし、A の上界全体を U(A)、下界全体をL(A) と表すとき、次の互いに同値な4つの命題のいずれかで表されるのが連続公理である。 \)
連続公理の定義の (3),(4) は次のようにも言い換えられる。
\((1) 上に有界な集合 A について、a = \sup A であることは、次の二条件が成り立つことと同値である。\)
(2) \( 下に有界な集合 A について、a = \inf A であることは、次の二条件が成り立つことと同値である。\)
\( P \implies Q の証明 \)
\( 上限の定義から、x \in A について、x≤a が成り立つ。また、a-ε は上界ではないから、a-ε \lt x となる x \in A が存在する。\)
\( Q \implies P の証明 \)
\( a を (ⅰ),(ⅱ) をみたす数とする。(ⅰ) により、a は A の上界である。ここで、a が A の上限でないと仮定すると、A の上界 b で b \lt a となるものが存在することになる。ε=a-b とおくと、任意の x \in A について、x ≤ b = a-(a-b) = a-ε となって、(ⅱ) に反する。よって、a は上限でなければならない。 \)
上に有界な単調増加列 \{a_n\} は \sup \{ a_n\} に収束する。
下に有界な単調増加列 \{a_n\} は \inf \{ a_n\} に収束する。
数列{\(a_n\)}が α に収束するとは、任意の ε>0 に対して、ある自然数 N が存在し、n≥N である全ての自然数 n について、\[|a_n-α| \lt ε\]となることである。α を{\(a_n\)}の極限(値)という。
数列{\(a_n\)}が α に収束し、またα'
任意の正の実数 ε に対して、ある正の実数 δ が存在して、 \begin{eqnarray} 0 \lt |x-a| \lt δ ⇒ |f(x)-α| \lt ε \end{eqnarray} が成り立つとき、この値 α を x→a のときの f(x) の極限値と言い、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to a} f(x) = α \end{eqnarray} と表す。
論理記号で書けば、 \begin{eqnarray} \forall ε \gt, \exists δ \gt 0 \ s.t. \ 0 \lt |x-a| \lt δ ⇒ |f(x)-α| \lt ε \end{eqnarray} であるとき、\( \lim_{x \to a} f(x) = α \)
任意の正の実数 ε に対して、ある正の実数 δ が存在して、 \begin{eqnarray} x \gt δ ⇒ |f(x)-α| \lt ε \end{eqnarray} が成り立つとき、この値 α を x→∞ のときの f(x) の極限値といい、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to ∞} f(x) = α \end{eqnarray} と表す。
論理記号で書けば、 \begin{eqnarray} \forall ε \gt, \exists δ \gt 0 \ s.t. \ x \gt δ ⇒ |f(x)-α| \lt ε \end{eqnarray} であるとき、\( \lim_{x \to ∞} f(x) = α \)
任意の正の実数 ε に対して、ある負の実数 δ が存在して、 \begin{eqnarray} x \lt δ ⇒ |f(x)-α| \lt ε \end{eqnarray} が成り立つとき、この値 α を x→-∞ のときの f(x) の極限値といい、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to -∞} f(x) = α \end{eqnarray} と表す。
論理記号で書けば、 \begin{eqnarray} \forall ε \gt, \exists δ \lt 0 \ s.t. \ x \lt δ ⇒ |f(x)-α| \lt ε \end{eqnarray} であるとき、\( \lim_{x \to -∞} f(x) = α \)
まずは、高校でやったように、\( \lim_{x \to a}\frac{3x^2 - 3a^2}{x-a} = \lim_{x \to a}\frac{3(x + a)(x - a)}{x-a} = \lim_{x \to a}3(x+a) = 6a \) として、極限値 6a を求める。 (この部分は答案には書かなくていい。)
それから、ε-δ論法を使って、\( 任意の正の実数 ε に対して、ある正の実数 δ が存在して、0 \lt |x-a| \lt δ ならば |\frac{3x^2 - 3a^2}{x-a}-6a| \lt ε \ (*) \) となることを示す。
\[ |\frac{3x^2 - 3a^2}{x-a}-6a| = 3(x + a) - 6a | = 3|x - a| \lt ε \] とすると、\(|x-1| \lt \frac{ε}{2} \)
よって、\(δ \lt \frac{ε}{2} \) となるようにδを定めると、(*)は成り立つ。
すなわち、どんなに小さな正の数 ε が与えられても、\(0 \lt δ \lt \frac{ε}{2} \) となる δ は存在し、(*)は成り立つ。
\(\lim_{x \to a} f(x) = α, \lim_{x \to a} g(x) = β \)とする。
1,2はまとめて、 \[\lim_{x \to a} {k f(x) \pm l g(x) } = kα \pm lβ \] とあらわすことができる。これを、+ の場合について証明する。
(証明)
\(正の実数 M を、M \lt max(|k|, |l|) となるようにとる。また任意の正の実数 ε をとる。このとき、 \frac{ε}{2M} も正の実数である。\)
\(\lim _{x \to a} f(x) = α であるから、正の実数 δ_1 を、0 \lt |x-a| \lt δ_1 である全ての x について、| f(x)-α | \lt \frac{ε}{2M} となるようにとれる。\)
\(同様に、\lim _{x \to a} g(x) = β であるから、正の実数 δ_2 を、0 \lt |x-a| \lt δ_2 である全ての x について、| g(x)-β | \lt \frac{ε}{2M} となるようにとれる。\)
\(ここで、δ=min(δ_1,δ_2)とすると、|x-a| \lt δ のとき、\) \begin{eqnarray} |\{ k f(x) + l g(x) \} - (kα + lβ)| = |k \{ f(x)-α \} + l \{ g(x)-β \}| \leq |k|| f(x)-α | + |l|| g(x)-β | \lt M \cdot \frac{ε}{2M} + M \cdot \frac{ε}{2M} = ε \end{eqnarray}
(3の証明)
\(任意の正の実数 ε をとる。\lim _{x \to a} f(x) = α であるから、ある正の実数 δ_0 が存在して、0 \lt |x-a| \lt δ_0 である全ての x について、| f(x)-α | \lt ε 。このとき、α-ε \leq α-ε であるから、|f(x)| \leq max \{|α-ε|, |α+ε|, |β| \} とすると、ε \neq 0 より、|α-ε|, |α+ε| の少なくとも一方は 0 でないから、M \gt 0 \)
\( ここで、M=max \{ \} \)
この式が基本である。あとの2つの式はこれから導ける。
(i) \( 0 \lt x \lt \frac{π}{2}\)のとき
単位円の周上で、角 0 の点を B、角 x の点を A とする。また、単位円の中心を O とし、直線 OA と直線 x=1 の交点をCとすると、 \[ \triangle ABO \lt 扇形ABO \lt \triangle ABO \] \[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \sin x \lt \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x \lt \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x \] \[ \sin x \lt x \lt \frac{\sin x}{\cos x} \] 左側の不等式について、 \[ \sin x \lt x より、\frac{\sin x}{x} \lt 1 \] \( (x \gt 0 より、xで割っても不等号の向きは変わらない。) \) 右側の不等式について、 \[ x \lt \frac{\sin x}{\cos x} より、\cos x \lt \frac{\sin x}{x} \] \( ((x \gt 0, \cos x \gt 0 より より、x, \cos x で割っても不等号の向きは変わらない。) \) 以上より、 \[ \cos x \lt \frac{\sin x}{x} \lt 1 \tag{①} \] \( \lim _{x \to +0} \cos x =0 と、はさみ打ちの原理より、\lim _{x \to +0}\frac{\sin x}{x} = 1 \)(ii) \( 0 \lt x \lt \frac{π}{2}\)のとき
\( t= -x とおくと、t \gt 0、①式に x=-t を代入すると、\) \( \lim _{x \to -0}\frac{\sin x}{x} = \lim _{x \to -0}\frac{\sin (-x)}{-x} \lim _{t \to +0} = \frac{\sin t}{t} = 1 \)( (i)の結果を利用した。 ) 以上(i),(ii)より、xの正負に関わらず、\( \lim _{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \)上の結果を使えば、 \[ \lim _{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim _{x \to 0}\frac{1}{x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \lim _{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \lim _{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1 \]
\( x-π = t とおくと、x→π で t→0 , \sin 2x = \sin 2(π+t) = \sin(2π+2t) = \sin 2t \) であるから、
\[ \lim _{x \to π}\frac{π - x}{\sin 2x} = \lim _{t \to 0}\frac{-t}{\sin 2t} = -\frac{1}{2} \cdot \lim _{2t \to 0}\frac{2t}{\sin 2t} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\]\( \sin x = θ とおくと、x→0 で θ→0 であるから、\) \[ \lim _{x \to π}\frac{\tan(\sin x)}{x} = \lim _{x \to 0, θ \to 0}\frac{\tan θ}{θ} \cdot \frac{θ}{x} = \lim _{θ \to 0}\frac{\tan θ}{θ} \cdot \frac{\sin x}{x} = 1 \cdot 1 = 1 \]
x=a の点とその付近で定義されている関数 y=f(x) が \(\lim_{x \to a}f(x) = f(a) \) を満たすとき、f(x)は x=a で連続であるという。
この等式が成り立つためには、そもそもこの等式の左辺等辺それぞれの式が存在している必要がある。左辺の \(\lim_{x \to a}f(x) が存在するということは、点 x=a における右側極限と左側極限が一致すること。すなわち、\lim_{x \to a+0}f(x) = \lim_{x \to a-0}f(x) であることであり、右辺の f(a) が存在するということは、x=a が f(x) の定義域に含まれることである。\)
直感的な理解としては、y=f(x)のグラフが x=a で繋がってれば、つまり途切れていなければ x=a で連続であると考えてよい。ε-δ論法を用いた厳密な定義は、 \begin{eqnarray} 任意の正の実数 ε に対して、ある正の実数 δ が存在して、| x - a | \lt δ を満たす全ての x に対して、| f(x) - f(a) | \lt ε であることである。 \end{eqnarray}
ところで、上述のように、ある点で連続であるためには右側からの極限と左側からの極限がともに存在する必要があるから、閉区間の端では連続でないことになる。ただ、このような場合も、一方に対しては繋がっているので、これを片側連続であるという。
\(関数 f(x) において、\lim_{x \to a+0}f(x) = f(a) が成り立つとき、f(x)は x=a において右側連続であるという。 \)
\(関数 f(x) において、\lim_{x \to a-0}f(x) = f(a) が成り立つとき、f(x)は x=a において右側連続であるという。 \)
要するに、閉区間の両端において、半開区間においてはその閉じた方の端において、片側連続連続である。
\(例えば、 f(x)=[x] とすると、f(x) は x=n (nは整数) において右側連続だが、左側連続ではない。\)
\(I を1つの区間とする。関数 f が任意の a \in I において連続であるとき、「f は I において連続である。」という。I が閉区間 [a,b] である場合には、f が I において連続であるとは、f が a \lt c \lt b である任意の c において連続で、aにおいては右側連続、bにおいて左側連続であることである。半開区間[a,+∞) において連続であるとは、c \gt a を満たす任意の c において連続で、かつ a において右側連続であることである。\)
\( 有理関数 \frac{f(x)}{g(x)} は、分母を 0 にする値を除けば連続である。すなわち、有理関数は分母を 0 とする x の値によって定義域がいくつかの区間に分けられるが、それらの区間のそれぞれにおいて連続である。例えば、f(x)=\frac{1}{(x-α)(x-β)} (α \lt β) は、区間 (-∞,α),(α,β),(β,∞) において連続である。 \)
x軸上の区間に限らない、より一般的な連続の定義は次のようになる。
\( A を \mathbb{R} の空でない部分集合、f: A→\mathbb{R} を関数とする。)
(1) \( a \in A とする。 \lim_{x \to a}f(x) = f(a) が成り立つとき、f(x)は x=a において連続であるという。 \)
(2) \( 任意の a \in A に対して f(x) が x=a で連続なとき、f は A で連続であるという。 \)
\( f(x), g(x) が x=a で連続であるとすると、\)
\( A, B を \mathbb{R} の空でない部分集合、f: A→\mathbb{R} を \{f(x) | x \in A \} \subset B を満たす関数、g: B →\mathbb{R} を 関数とし、a \in A とする。f(x), g(y) がそれぞれ x=a, y=f(a) で連続ならば、(g /circ f)(x) は x = a で連続。すなわち、\lim_{x \to a} (g /circ f)(x) = (g /circ f)(a) \)
\begin{eqnarray} f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} f'(a) = \lim_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray}
関数 f(x) が x=a で微分可能であるとは、x=a における微分係数 f'(a) が存在すること、すなわち、x=a における右側極限と左側極限が一致することである。式で表せば、 \[ \lim_{h \to +0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to -0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] であることである。
なお、x=a で微分可能であるにはその定義から、両側から x に近づいていけることが絶対に必要なので、閉区間の端はどうしても微分可能でない。すなわち、連続における片側連続のような、「片側微分可能」なるものは存在しない。微分可能な区間は、必ず開区間である。
\( f(x) が x=a で微分可能であれば、x=a で連続である。\)
\( f(x) が x=a で微分可能であるから、\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \) よって、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to a} (f(x)-f(a) ) = \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot (x-a) = f'(a) \ cdot 0 =0 \quad ① \end{eqnarray} 一方、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to a} (f(x)-f(a) ) = \lim_{x \to a}f(x) - \lim_{x \to a}f(a) = \lim_{x \to a}f(x) - f(a) = \quad ② \end{eqnarray} \( ①、②より、\lim_{x \to a}f(x) - f(a) = 0 であるから、\lim_{x \to a}f(x) = f(a) \)
よって、f(x) が x=a で微分可能であれば、x=a で連続である。
\( 上の命題が真であるから、当然、その対偶も成り立つ。すなわち、f(x) が x=a 連続でなければ、x=a で微分可能でない。\)
\( 逆は成り立たない。すなわち、f(x) が x=a 連続であっても、x=a で微分可能とは限らない。\)
\( 図形的に考えると、連続であるとは「グラフがつながっていること」、微分可能であるとは、「グラフがなめらかであること」であるから、なめらかであれば当然つながっているが、連続であっても(尖っているところがあって)なめらかでない場合もあるということである。連続であるがなめらかでない関数の典型的な例が y = |x| で、\)
\[ \lim_{h \to +0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to +0}\frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to +0}\frac{|h|}{h} = = \lim_{h \to +0}\frac{h}{h} = 1 \] \( (h \gt 0 であるから、|h|=h) \) \[ \lim_{h \to -0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to -0}\frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to -0}\frac{|h|}{h} = \lim_{h \to -0}\frac{-h}{h} = -1 \] \( (h \lt 0 であるから、|h|=-h) \) となって、 \[ \lim_{h \to +0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \neq \lim_{h \to -0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] であるので、\( y = |x| は x=0 で微分可能でない。 \)\begin{eqnarray} \{ f(x) \cdot g(x) \}' = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) }{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x) }{h} = \lim_{h \to 0}\frac{ g(x+h)\{ f(x+h) - f(x) \} + f(x)g(x+h) - g(x) }{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x) }{h}\lim_{h \to 0}g(x+h) + f(x)\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x) }{h} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{eqnarray}
\( y=f(u), u=g(x) について、y を x で微分するにはどうしたらよいか。結論から言うと、 \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} とすればいいのだが、これはまずは簡易な方法で示す。\)
\( x が微小な変化をするとき、u の変化も微小である。すなわち、\lim_{x \to 0}u=0 であるから、\lim_{x \to 0}\frac{dy}{dx} = \lim_{x \to 0}\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \lim_{u \to 0}\frac{dy}{du} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{du}{dx} = y'(u)g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
より本格的な照明は以下。
\( y=f(u), u=g(x) とすると、g(x+h)=g(x)+t とおける。 h → 0 で t → 0 であるから、\) \begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x)) }{h} = \lim_{h \to 0, u \to 0}\frac{f(u+t) - f(u) }{t}\cdot\frac{t}{u} = \lim_{t \to 0}\frac{f(u+t) - f(u) }{t} \cdot \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x) }{h} = y'(u)g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \end{eqnarray}\( 逆関数 y=f^{-1}(x) を x について解くと、x=f(y) \)
\( この両辺を x で微分すると、\)
\[ (左辺)=1, (右辺)=\frac{d}{dx} f(y) = \frac{d}{dy}f(y) \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \]\(となるから、1=\frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} よって、\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}[dy]} \)
\( 二項定理より、(x+h)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 x^n + {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1} h + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2} h^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^0 h^n\)
\(よって、 (x+h)^n - x^n = {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1} h + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2} h^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^0 h^n \)
\[ (x^n)' = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - x^n }{h} = \lim_{h \to 0} \{ {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2} h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^0 h^{n-1} \} = {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1} = n x^{n-1} \]よって、\( (x^n)' = n x^{n-1} \quad ① \)
① が成り立つことを数学的帰納法により証明する。
(i) \( n=1 のとき、① の左辺は x'=1, ① の右辺は x^{1-1}=x^0=1 であるから、①は成り立つ。\)
(ⅱ) \( n=k のとき、① が成り立つと仮定すると、(x^k)' = k x^{k-1} \quad ② \)
以上(i), (ⅱ) より、全ての自然数 n について① は成り立つ。
\( このとき、(① の左辺で n=k+1 としたもの) = (x^{k+1})' = (x \cdot x^k)' = x' \cdot x^k + x \cdot k x^{k-1} = 1 \cdot x^k + k x^ = (k+1)x^k = (① の右辺で n=k+1 としたもの) \)
\( x^0 = 1 であるから、①の左辺は 1'=0, ①の右辺は 0 \cdot x^0 = 0 \cdot 1 = 0 となるので、①は成り立つ。\)
m=-n とおくと、m は自然数であるから、①より、
\[ (x^n)'= (x^{-m})' = (\frac{1}{x^m})' = - \frac{(x^m)'}{(x^m)^2} = - \frac{m x^{m-1}}{x^2m} = -m x^{-m-1} = n x^{n-1} \]以上より、全ての整数 n について① は成り立つ。
さらに、整数に限らず有理数 p についても、\( (x^p)' = p x^{p-1} \)が成り立つ。
\( p を有理数とすると、p=\frac{m}{n} \ (m は整数、n は自然数) と表される。\)
\( すると、x^p = x^{\frac{m}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m \)
\( ここで、y=x^{\frac{1}{n}} とおくと、x=y^n \)
\( 両辺を x で微分して、\frac{dx}{dy}=n y^{n-1} \)
よって、 \[ (x^p)' = \frac{d}{dx}y^m = \frac{d}{dy}y^m \cdot \frac{dy}{dx} = m y^{m-1} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = m y^{m-1} \cdot \frac{1}{n y^{n-1}} = \frac{m}{n} y^{m-n} = \frac{m}{n} (x^{\frac{1}{n}})^{m-n} = \frac{m}{n} (x^{\frac{m}{n}-1}) = p x^{p-1} \]実は、① はnが無理数を含む実数でも成り立つ。証明には、後出の対数関数の微分を用いる。
\(α を有理数とする。y=x^α の両辺の e を底とする対数を取ると、\log y = α \log x \)
\(この両辺を x について微分して、\frac{y'}{y} = α \cdot \frac{1}{x} \)
よって、 \[ (y)' = y \cdot \frac{α}{x} = x^α \cdot \frac{α}{x} = α x^{α-1} \]\begin{eqnarray} (\sin x)' = \lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h} 2 \cos \frac{2x+h}{2} \sin \frac{h}{2} = \lim_{\frac{h}{2} \to 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \to 0} \cos (x + \frac{h}{2}) = 1 \cdot \cos x = \cos x \end{eqnarray} \( \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} と、 \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 を利用している。\)
商の微分を利用した\( \tan x \)の微分の別解 \begin{eqnarray} (\tan x)' = \{\frac{\sin x}{\cos x} \}' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{(\cos x)^2 } = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2 } = \frac{(\cos x)^2 + (\sin x)^2}{(\cos x)^2 } = \frac{1}{(\cos x)^2 } \end{eqnarray}
\(f(x)=a^x (a>1) \) の x=0 における微分係数が1となるときの底aの値を e と定義する。すなわち、微分係数の定義式で \(f(x)=a^x \) とし、x=0 とすると、 \begin{eqnarray} f'(0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h} \end{eqnarray} このf'(0)が1となるときの底aの値を ネイピア数e と定義するのである。 上の式の右辺でaをeで置き換え、hをxで置き換えて、その値が定義により1と等しいことを考えると、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1 \end{eqnarray} ここで、\(e^x-1 = u とおくと、e^x = 1+u, x=\log (1+u) x→0 のとき、u→0 \)。よって、上の式の右辺は \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\log (1+u)} = \lim_{u \to 0}\frac{1}{\frac{\log (1+u)}{u} } \end{eqnarray} となり、これが1に等しいことから、 \begin{eqnarray} \lim_{u \to 0}\frac{\log (1+u)}{u} =1 \end{eqnarray} となる。uをxで置き換えて、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{\log (1+x)}{x} = 1 \end{eqnarray} ここで、\( \frac{\log (1+x)}{x} =\log (1+x)^{\frac{1}{x}} \)であるから、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \log (1+x)^{\frac{1}{x}} = 1 \end{eqnarray} \((1+x)^{\frac{1}{x}} \) のx→0 の極限値についてeを底とする対数を取り、その値が1であるということは、((1+x)^{\frac{1}{x}} \) のx→0 の極限値がeであるということである。即ち、 \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \end{eqnarray} ここで、\(\frac{1}{x}=t とおくと、x→+0 のとき、t→+∞ ,x→-0 のとき、t→+∞ \)であるから、 \begin{eqnarray} \lim_{t \to \pm ∞} (1+\frac{1}{t})^t = e \end{eqnarray}
\( f(x) = a^x (a \gt 0, a \neq 1 ) \)とする、 \begin{eqnarray} \ (a^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^x (a^h - 1)}{h} = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \end{eqnarray} \( ここで、a^h-1 = u とおくと、a^h = u+1 \) 両辺の e を底とする対数を取って、 \begin{eqnarray} h \log a = \log (u+1) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \frac{1}{h} = \frac{\log a}{\log (u+1)} \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} \frac{a^x - 1 }{h} = \frac{u \log a }{\log (u+1)} \end{eqnarray} ここで、h→0 のとき u→0 であるから、 \begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \lim_{u \to 0} \frac{u \log a }{\log (u+1)} = (\log a) \lim_{u \to 0} \frac{u}{\log (u+1)} = \log a \cdot 1 = \log a \end{eqnarray} (自然対数の底 e の定義の一つである、\( \lim_{x \to 0} \frac{\log (x+1)}{x} = 1\))を用いた。 以上より、 \[ (a^x)' = (\log a)a^x \]
まず、\( \log x の 微分がどのようになるかを見てみる。\)
\( f(x) = \log x とおくと、\) \begin{eqnarray} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\log(x+h) - \log x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \frac{x+h}{x} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log (1+\frac{h}{x}) = \lim_{h \to 0} \log (1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}} = \lim_{h \to 0} \log \{(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}\}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \log \{(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}\} \end{eqnarray} \( ここで、u=\frac{h}{x} とおくと、h→0 のとき u→0 であるから、\) \begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \log \{(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}\} = \lim_{u \to 0} \log \{(1+u)^{\frac{1}{u}}\} = \log e = 1 \end{eqnarray} 以上より、 \begin{eqnarray} (\log x)' = \frac{1}{x} \end{eqnarray}
\( 関数 f(x) が閉区間 [a,b] で連続のとき、f(x) が最大値 M を取る x と、最小値 m をとる x が、この区間内にそれぞれ少なくとも1つずつ存在する。\)
\(閉区間 [a,b] で連続で、かつ開区間 (a,b) で微分可能である関数 f(x) に対して、 f(a)=f(b) が成り立つならば、f'(c)=0 \quad (a \lt c \lt b) をみたす実数 c が存在する。 \)
(i) 区間 [a,b] で f(x)=(定数) のとき、
\( a \lt x \lt b をみたす全ての実数 x に対して f(x)=0 である。\)
(ⅱ)\( 区間 [a,b] で f(t) \gt f(a) (=f(b)) となる a \lt t \lt b があるとき、\)
関数 f(x) は閉区間 [a,b] で連続であるから、最大値・最小値の定理より、f(x) が最大値をとる c が (a,b) 上に存在する。
\( f(x)は(a,b) で微分可能であるであるから、「尖ったところ」はない。すると、最大値を取る可能性があるのは、区間の端か、極値をとる場所しかない。そして、今、開区間内に端点よりも大きい値があるのだから(条件により両端点の値は等しい)、最大値をとるところは極値の所しかない。 \)
偶然性を伴った試行或いは観測を行うことを確率実験(radom experiment)という。1つの確立実験に対して、その可能な起こりうる結果の全体を標本空間(sample space)、事象空間(event space)または全事象と呼ぶ。(以下、単にΩと書けば全事象を指す。また、「事象」と「集合」を同じ意味で用いる。)標本空間の各要素を標本点(sample point)または根源事象(elementary event)という。Ωの部分集合は事象と呼ばれる。事象Aが起こるということは、集合Aに含まれる標本点のどれかが起こることである。各標本点について、その生起する確率を決めることができる。
確率の決め方には、以下の4つの方法がある。
ここで、集合族について
関心の対象とする事象(集合)だけを集めたものを集合族(事象族)という。
例えば、ある種の豆は、種皮の色が黄色または緑色のいずれか一方であり、また、種皮に皴が有るものと無いものがあるとする。
\(種皮が黄色であるものの集合をC_1, 種皮が緑色であるものの集合をC_2, 種皮に皴が有るもの集合をD_1, 種皮に皴が無いもの集合をD_2とする。C_1とC_2, D_1とD_2は互いに排反である。\)
種皮の色と、皴の有無だけに関心があるとすると、この豆の性質についての集合族は、
\( 確率が定義される事象の全体 \mathscr{A} は、次の性質を満たしている必要がある。/)
(ⅰ) は、Ω も一つの事象であることを示す。
\( (ⅱ) は、A が事象ならば Ω \setminus A (=\overline A ) も一つの事象であることを示す。ここで、A=Ω とすると、空集合も事象である。\)
\( 上の公理的アプローチの P は、\mathscr{A} の各要素に対して定義された集合関数である。そして、公理的アプローチの (公理3) を「完全加法性」という。\)
\( Ω, \mathscr{A} の組 (Ω, \mathscr{A}) を可測空間という。\)
\( すなわち、\mathscr{A} 上で定義された関数 P:\mathscr{A}→R' が公理 1~3 を満たすとき、P を可測空間 (Ω, \mathscr{A}) 上の 確率(測度)という。\)
\( Ω を標本空間、Ω の要素 ω を標本点(根源事象)、A \in \mathscr{A} を事象といい、P(A) を P の確率という。\)
試行がもたらす事象を実数に対応させる関数を確率変数という。この関数が出力する値のことを確率変数の実現値という。(ただし、誤解の余地がなければ、確率変数の実現値のことを単に確率変数ということもある。)
\( 上述の、完全加法族 \mathscr{A}、標本空間 Ω、を使って表せば、標本空間 Ω 上の各点 ω に対し 1つの数値 X(ω) が対応させられているとき、この対応 X を Ω 上((Ω, \mathscr{A})上)の確率変数という。 \)
\( Ω 上の n個の確率変数 X_1, X_2, \cdots X_n の組 \vec{X}(ω)=(X_1(ω), \cdots X_n(ω)) をn次元確率ベクトル(random vector)という。\)
標本空間に含まれる事象が有限個の場合、この標本空間に関して定められた確率変数は、根源事象と個々の実現値を一対一対応させる。すなわち、根源事象\[a_1,a_2,\ldots,a_n\]に対して、確率変数の出力結果(実現値)\[x_1,x_2,\ldots,x_n\]を対応させることができる。このような確率変数を、離散型確率変数(discrete random varible)と呼ぶ。
この確率変数の出力結果それぞれについて、その値が生じる確率を定めることができる。確率変数の出力結果(実現値)を入力とし、その確率を出力とする関数を確率関数という。なお、異なる実現値が同じ確率で生じることがあるので、確率関数は一般に一対一対応ではない。
なぜ、事象とその発生確率を直接に結び付けず、間に確率変数というものを介在させるかというと、確率変数の実現値は実数なので、期待値の計算など、数値的な処理が可能になるという利点があるからである。
例1: 硬貨を投げて出る面を標本空間とすると、根源事象は「表」、「裏」の2つである。ここで、生起した根源事象が「表」ならば1、「裏」ならば0 を出力する確率変数をXとすると、X(表)=1, X(裏)=0 と書くことができる。ひとたび確率変数を定めてしまうと、元の根源事象について言及する必要はもうないので、単に X=0,1 と書いて、Xの出力結果(実現値)が0または1であることを示してもよい。そして、確率関数をPとすると、\[P(0)=\frac{1}{2}, P(0)=\frac{1}{2}\]と定めることができる。表にすると次のようになる。
| 根源事象 | 表 | 裏 |
|---|---|---|
| 確率変数 X | 1 | 0 |
| 確率 P | 1/2 | 1/2 |
例2: 骰子を振って出る目を根源事象とすると、
| 根源事象 | 1の目 | 2の目 | 3の目 | 4の目 | 5の目 | 6の目 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 確率変数 X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 確率 P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
以上をまとめて、
確率変数がとるn個の有限な実数値に対して、確率関数Pは \begin{eqnarray} P(x_1) = p_1, P(x_2) = p_2, \ldots, P(x_n) = p_n \end{eqnarray} をとり、他の実数については\(P(x)=0\)。ただし、\(0<p_i≤1 (i=1,\ldots,n) \)
離散型確率変数 X の実現値とその生起確率 P を
| 確率変数 X | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 確率 P | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_n\) |
(\ X の期待値 E(X) のことを X の確率分布の平均ともいい、μで表す。μ_xと書くこともある。\)
算術平均の性質
性質1の証明
\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^n x_i - \bar{x} \sum_{i=1}^n = n\bar{x} - \bar{x}n = 0 \end{eqnarray}性質2の証明
\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{ i = 1 }^{ n } {(x_i - \bar{x}) - (\bar{x} - a)}^2 = \sum_{ i = 1 }^{ n } ((x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + (\bar{x} - a)^2) = \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2 + 2\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + \sum_{ i = 1 }^{ n } (\bar{x} - a)^2 = \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - a)\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x}) + n(\bar{x} - a)^2 = \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - a)^2 ≤ \sum_{i=1}^n (x_i - a)^2 \end{eqnarray}分散はまた、 \begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2 \end{eqnarray} によっても計算できる。
証明 \begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i^2 -2\bar{x}x_i + \bar{x}^2) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i^2 -2\bar{x}\sum_{i=1}^n x_i + \bar{x}^2\sum_{i=1}^n ) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i^2 -2\bar{x}*n\bar{x} + n\bar{x}^2 ) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2 ) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2 \end{eqnarray}
後者の計算方法は、手計算する場合にも概して定義通りの計算より簡単であるが、特に計算機で計算する場合、誤差を少なくできる利点がある。
導出 \begin{eqnarray} \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - μ)^2 = \sum_{ i = 1 }^{ n } {(x_i - \bar{x}) - (\bar{x} - μ)}^2 = \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2 + 2\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})(\bar{x} - μ) + \sum_{ i = 1 }^{ n } (\bar{x} - μ)^2 = \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - μ)^2 \end{eqnarray}
両辺の期待値を取って、 \begin{eqnarray} E(\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - μ)^2) = E(\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2) + nE((\bar{x} - μ)^2) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \sum_{ i = 1 }^{ n } V(x_i) = E(\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2) + nV(\bar{x}) \end{eqnarray}
ここで、 \begin{eqnarray} V(x_1) = V(x_2) = \cdots = V(x_n) = \sigma^2 \end{eqnarray} \begin{eqnarray} V(\bar{x}) = V(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}) = V(\frac{x_1}{n}) + V(\frac{x_2}{n}) + \cdots + V(\frac{x_n}{n}) = \frac{1}{n^2}\sigma^2 + \frac{1}{n^2}\sigma^2 + \cdots + \frac{1}{n^2}\sigma^2 = \frac{1}{n}\sigma^2 \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} n\sigma^2 = E(\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2) + n\frac{1}{n}\sigma^2 \end{eqnarray} \begin{eqnarray} E(\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2) = n\sigma^2 - \sigma^2 = (n-1)\sigma^2 \end{eqnarray} ここで、 \begin{eqnarray} s^2 = E(\frac{\sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i - \bar{x})^2 }{n-1}) \end{eqnarray} とおくと、 \begin{eqnarray} E(s^2) = \sigma^2 \end{eqnarray} となる。これから分かるように、「標本分散」という呼び方は若干誤導的で、所謂「標本分散」とは、「標本の分散」ではなく、「その期待値が母分散となるような、標本から計算されるある値」のことである。なお、「標本分散」は、不偏分散 unbiased variance とも呼ばれる。こちらの方が、誤解は招きにくい呼び方かもしれない。(ただし、名前からそれが何なののか推測できなくはあるが。)
1辺の長さL、体積Vの立方体の容器の中で運動する気体分子を考える。この容器の中には同じ種類の気体分子がN個入っているとする。
容器の辺と平行にx軸、y軸、z軸を取る。容器の中の1つの気体分子に着目し、この分子が速度
\begin{eqnarray}
v=
\begin{pmatrix}
v_x \\ v_y \\ v_z
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
で運動しているとする。まず、x軸方向の運動を考える。
yz平面に平行な壁の1つを壁Aとする。分子が壁Aと衝突した前後の運動量変化は、衝突前にx軸の正方向に運動していたとして、
\begin{eqnarray}
-mv_x-mv_x=-2mv_x (kg m/s)
\end{eqnarray}
よって、壁Aがこの衝突によって受ける力積は\(2mv_x\)
この分子が壁Aと衝突する単位時間当たりの衝突回数は、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\frac{2L}{v_x}} = \frac{v_x}{2L} (\frac{1}{s})
\end{eqnarray}
単位時間にこの分子が壁Aに与える力(=壁Aが受ける力)fは、
\begin{eqnarray}
\require{physics}
f=2mv_x(\flatfrac{kg \cdot m}{s})\times{\frac{v_x}{2L}} (\flatfrac{1}{s})= \frac{mv_x^2}{L} (\flatfrac{kg \cdot m}{s^2}=N)
\end{eqnarray}
N個の分子のx方向の速さの平均を\(\bar{v_x^2}\)とすると、壁Aが単位時間に全分子から受ける力Fは、
\begin{eqnarray}
F=N \bar {f} = \frac{Nm\bar{v_x}^2}{L} (N)
\end{eqnarray}
壁が受ける圧力Pは、この力を壁の面積\(L^2\)で割って、
この\(\frac{R}{N_A}\)はボルツマン定数と呼ばれる。ボルツマン定数の値は、高校物理の課程に従えば既知のアボガドロ定数\(6.02214076 \times 10 ^{23} (\flatfrac{}{mol}) \)と気体定数 \(R=8.31446261815324 (\flatfrac{J}{(K \cdot mol)}) \)から計算することができるが、現在(2019年5月改訂のSI定義)ではボルツマン定数は定義定数となっており、ちょうど\(k_B=1.380649 \times 10^-23 (\flatfrac{J}{K})\)と定義されている。
気体分子のモル質量を\(M (\flatfrac{g}{mol}) \) とすると、\(m \times N_A = M \times 10^-3 (kg) \)であるから、(化学で使うモル質量はgで表されるが、物理では質量をkgとして体系が組み立てられているため、モル質量をkg表示に直す変換が必要。)
\begin{eqnarray}
\sqrt{\bar{v^2}} = \sqrt{\flatfrac{RT}{mN_A}} = \sqrt{\flatfrac{3RT}{M \times 10^{-3}}}
\end{eqnarray}
これを二乗平均速度という。気体定数Rと分子量Mは定数なので、気体の平均速度は絶対温度の平方根に比例することが分かる。
\begin{eqnarray} (気体分子が持つ力学的エネルギー)=(運動エネルギー)+(位置エネルギー) \end{eqnarray} である。(気体では弾性エネルギーはない。)運動エネルギーには、上で導いた並進運動による運動エネルギーのほか、回転運動による運動エネルギー、振動による運動エネルギーもあるが、単原子分子では後二者は存在せず、並進運動による運動エネルギーのみが運動エネルギーとなる。位置エネルギーには、万有引力による位置エネルギー、静電気力による位置エネルギー、弾性力による位置エネルギーなどがあるが、気体については弾性力は関与せず、理想気体については全二者も無視できる。(万有引力は非常に弱い力なので、実在気体についても無視してよいが、静電気力は強力な力なので、低温や高圧により分子間の距離が近くなった実在気体に対しては無視できない力を及ぼす。)
結局、単原子分子理想気体では、 \begin{eqnarray} (気体分子が持つ全力学的エネルギー)=(並進運動の運動エネルギー) = \frac{1}{2}m{\bar{v}^2} \end{eqnarray} となる。
ここで、一団の気体の全分子の運動エネルギーと位置エネルギーの和(すなわち全力学的エネルギー)を、
(内部エネルギーは気体以外のものについても定義可能ではあるが、特に気体についてこの概念を使って考えることが有用である。固体の場合、例えば、人が鉄アレイ状の物体を投げ、その物体が回転しつつ重心は放物線軌道を描いて運動をしているとすると、その物体はひとまとまりの剛体としての運動エネルギーとして、回転運動のエネルギーと放物線軌道の運動のエネルギーを持ち、またその時々の位置に応じた重力による位置エネルギーを持つ。だが、それらに加えて、物体を構成する個個の原子もわずかながら運動し、また粒子間の静電的位置エネルギーを持っている。これらを内部エネルギーと呼ぶ。従って、 \begin{eqnarray} (固体が持つ全力学的エネルギー) = (運動エネルギー)+(位置エネルギー)+(内部エネルギー) \end{eqnarray} となるわけだが、剛体の運動を考える場合、その運動エネルギーと位置エネルギーを考えれば十分で、内部エネルギーについて考慮する必要はない。一方気体の場合、例えば期待を容器に入れ、その容器を投射することを考えると、上の固体の場合の運動エネルギーと位置エネルギーに相当する、容器内部の気体全体が容器とともに動くことによって生じる運動エネルギーと位置エネルギーもあるわけだが、気体について考える際、これらを考慮に入れる必要はなく、もっぱら容器内の気体の運動(特にその平均の速さ)にのみ興味がある。よって、内部エネルギーは気体について考察するときのみ、決定的に重要なのである。)
ここで、今までは説明抜きで使っていた系(熱力学的系、thermodynamic system)という言葉について、その意味する概念を整理しておく。熱力学的系とは、関心の対象として選ばれたある量の物質、若しくは空間領域のことである。系の外側の物質や領域を外部(surroundings)という。系とその外部を隔てるものを境界(boundary)という。そして、系とその外部の間で物質が出入りするものを開いた系(open system)、出入りしないものを閉じた系(closed system)という。閉じた系でもエネルギーは通常熱や仕事の形だ外部とやり取りされるが、エネルギーのやり取りすら無い系を孤立系という。
例えば、熱を自由に伝えることのできるシリンダーに自由に動けるピストンが付いており、その中に気体が封入されているとすると、この気体を関心の対象とすると、これは孤立してはいない閉じた系である。気体とシリンダー・ピストンとの間に境界が存在するが、気体とシリンダーの間は固定境界、気体とピストンの間は移動境界である。(もちろん、どの範囲を関心の対象とするかは任意であり、例えば気体とシリンダー・ピストンをまとめて一つの系とし、シリンダー・ピストンと外気の間に境界があると考えることもできる。ただし、通常は、気体のみが系を構成していると考えた方が便利である。)
系の全エネルギーを巨視的エネルギーと微視的エネルギーに分けると、気体がそれが封入されている容器とともにする運動のエネルギーや、容器の位置による位置エネルギーは、ある外部の基準座標系に対して(例えば、静止している慣性系を運動の基準とし、地表を位置エネルギーの基準とする)系全体が持っているエネルギーであり、これは巨視的エネルギーである。他方、容器内部の気体のランダムな熱運動や、分子相互間の位置エネルギーは微視的エネルギーであり、これを内部エネルギーと呼んでいるのである。
過程中にその速度と重心の高度が一定に保たれる閉じた系のとことを静的な系(stationary system)という。静的な系の全エネルギーの変化⊿Eは、その内部エネルギーの変化⊿Uに等しい。気体は、通常静的な系であるとして考えてよい。すなわち、容器ごとの気体分子全体の一定方向への運動とか、気体分子全体が地球に対して持っている重力ポテンシャルとかは考えなくていい。気体については、その内部エネルギーだけを考えればよいのである。
分子の並進・回転・振動の運動による内部エネルギーを顕在エネルギー(sinsible energy)という。一方、内部エネルギーには分子間力による位置エネルギーもある。固体(とりあえず、分子結晶を考える)では分子間力が強く、個々の分子はその位置からほとんど動くことができない。液体ではそれよりも弱くなり、各分子は液体の中をゆっくり運動できるが、ここから離れて飛び出すことは(特に大きなエネルギーを持った一部の分子を除いて)できない。これが気体になると分子間力は弱く、各分子は自由に運動できる。そして、分子間力と気体分子の体積が完全に無視できるとしたのが理想気体である。極度に低温または高圧でない気体はほぼ理想気体とみなしてよい。
固体を(同温度の)液体に、液体を(同温度の)気体に変化させるためには、一定のエネルギーを加える必要がある。そのため、気相の系は、固相や液相の系よりも高い内部エネルギーを持つ。(熱力学的第一法則より、気体に熱が加えられれば、その熱が全て外部への仕事に使われるのでない限り、気体の内部エネルギーは増加する。)系の相に関する内部エネルギーを潜在エネルギー(latent energy)という。
1モルの単原子分子理想気体の内部エネルギーは、 \begin{eqnarray} N_A \times \frac{1}{2}m{\bar{v_x}^2} = \frac{3}{2}\frac{R}{N_A}T \times N_A = \frac{3}{2}RT \end{eqnarray} nモルの単原子分子理想気体の内部エネルギーは、 \begin{eqnarray} \frac{3}{2}RT \times n = \frac{3}{2}nRT \end{eqnarray} 温度が\(\Delta T\)変化した時の内部エネルギーの変化は、 \begin{eqnarray} \frac{3}{2}nR\Delta T \end{eqnarray}
物体がした仕事W'(=-W)を使えば、 \begin{eqnarray} Q =W' + \Delta U \end{eqnarray} と書くこともできる。こう書くと、気体が得た熱量の一部を使って外部に仕事をし、残りは気体の内部エネルギーを増加させる(温度を上昇させる)ために使われたということが分かりやすくなる。
内部エネルギーは状態の関数(状態量)であるから、ΔUは過程の経路によらず一定である。各平衡状態に対して一意的にその値が定まる物理量を状態量と呼ぶ。状態量の値や差は過程に依存しない。すなわち、ある平衡状態における状態量の値は、その平衡状態にそのような過程で至ったかに関わらず、常に同じ値を取る。またある過程の前後における状態量の差は、最初と最後の平衡状態だけで決まる。これに対して、仕事や熱は過程に依存するので状態量ではない。
気体がある平衡状態から他の平衡状態に移る過程について、次の四つの過程を主に考察の対象とする。
例えば、容積が変化しない密閉された容器の中の気体を加熱するような場合、温度の上昇とともに圧力は上昇し、これは定積変化である。また、自由に動けるピストンのあるシリンダー内の気体を加熱すると、気体が膨張して体積が増加する一方で、ピストンの両側で圧力が釣り合うので、内部の気体の圧力は常に外気圧と等しく一定である。。断熱容器の中で気体を圧縮すれば、これは断熱変化である。これらに対して、等温変化は現実的な具体例を考えにくい。熱を瞬時に伝える非常に熱伝導性の高い容器を考え、この容器の中で気体を圧縮するというようなことが考えられるが、圧力の変化に比べて温度の変化にははるかに時間がかかるから、ある程度の長さの時間を取れば前後で温度が変わらないようにはできるにせよ、どうしても常に温度が一定のまま変化させることはできない。あくまで観念上の存在と考えておくのがいいだろう。
ここで、気体がする仕事について考える。断面積S(m^2)の自由に動けるピストンがあり、内部の気体が過熱されてピストンがゆっくりと(その意味については後述)l(m)動いたとする。この時、気体がピストンを力Fで押していたとすると、(仕事)=(力)×(移動距離)であるから、 \begin{eqnarray} W' = F \cdot l = PS \cdot l = P\Delta V \end{eqnarray} ところで、上では、定圧変化では圧力が常に一定であると書いたのだが、実際には、非常に短い時間幅で考えると、温度上昇により気体分子の運動が激しくなると(より正確に言えば、外部からの熱で容器の熱運動が激しくなり、その動きが容器壁面に衝突した気体分子の受ける力積を大きくし、気体の平均運動エネルギーが大きくなったことを、「温度が上昇した」と言うのである)、気体分子はより大きな速さで容器内面に衝突し、容器が気体から受ける力が大きくなり、圧力が上昇する。すると、容器の内側の気体分子がピストンを押す力の方が容器の外側の気体がピストンを押す力よりも強くなり、ピストンは外側に移動する。すると、気体分子がピストンと衝突する単位時間当たりの回数が少なくなり、結果、気体分子が内側からピストンを押す力が弱くなって、ピストンの両側で気体分子がピストンを押す力が再び等しくなる。このような微小時間における過程が繰り返された結果、巨視的にみれば、圧力Pが一定のまま、体積が増加する変化が生じたということになるのである。
ここで、
理論的に厳密に扱おうとすると、熱平衡状態の間の無限小の遷移が無限の時間をかけて行われるのが準静的過程ということになる。だが、上では「無限の時間をかけて」と書いたが、実際にはそれほど時間をかけなくても、「十分遅い」とみなせる時間をかけて行われればよい。例えばシリンダーを引いて気体を膨張させる変化の場合、シリンダーを引く速度は音速よりも遅ければ「十分遅い」と判断できるそうなので、人間の感覚としてはかなり速い変化でも準静的過程たりうる。上述の「ゆっくりと」というのは、このような、準静的過程であることを満たしうる遅さでという意味である。
ここで、縦軸に圧力P, 横軸に体積Vをとったグラフ(P-Vグラフ)を書くと、気体がした仕事(ないしはされた仕事)は、このP-Vグラフの下の部分の面積となる。力学におけるF-xグラフと同様である。気体が膨張する変化では気体が仕事をし、気体が圧縮される変化では気体が仕事をされるので、変化前の点をA、変化後の点をBとすると、AのV座標がBのV座標よりも小さければP-Vグラフの下の部分の面積は気体がした仕事を表し、AのV座標がBのV座標よりも大きければP-Vグラフの下の部分の面積は気体がされた仕事を表す。定圧変化では、P-V曲線はV軸に平行な線分となり、気体がした(された)仕事はP-Vグラフ上でP=\(P_0\), V=\(V_A\), V=\(V_B\)とV軸で囲まれた長方形の部分の面積になる。定積変化ではP-V曲線はP軸に平行な線分となり、この下の部分の面積が0になので、気体は仕事をしてもされてもいないことになる。(「P-Vグラフ」と言った場合、各Vに対応するPの値をプロットした線だけを指す場合と、その線が描かれている平面を指す場合がある。紛らわしいので、前者の意味の時は「P-V曲線」と呼んだ。)
ところで、上の気体がした仕事の式は、定圧変化の場合について考えたわけだが、準静的過程で微小時間内では熱平衡状態が保たれているとすると、全体の変化の前後で圧力が一定でなくても、各微小時間内における気体がした仕事を、その微小時間内における気体の間の圧力をpとして、\(dW'=p \cdot dV\)と書くことができる。そして、その微小時間を無限に短くして(=上の式で体積変化を無限に小さくして)その時間内に気体がした微小な仕事を足し合わせれば、全体として気体がした仕事が求められる。つまり、P-Vグラフ上で短冊形の細長い長方形の面積の一つ一つが微小体積変化の間に気体がした仕事であり、この短冊の幅を無限に小さくしていくと、P-V曲線の下の部分の面積になる。これは、つまり積分するということである。すなわち、状態Aから状態Bで気体が体積\(V_A\)から\(V_B\)に膨張したとすると、気体がした仕事は、 \begin{eqnarray} W' = \int_{V_A}^{V_B} dW' = \int_{V_A}^{V_B} P(V)dV \end{eqnarray} となる。気体が(V_A\)から\(V_B\)に圧縮された場合には、同じ式で積分結果の値は負になり、気体がされた仕事を表す。
等温変化の場合、温度が変化しないということは内部エネルギーの変化も0なので、\(\Delta U =Q+W \)で ⊿U=0 として、Q=-W。圧縮の場合この値は負になる。すなわち、気体がされた仕事は、全て熱として外部に放出される。
一方、断熱変化の場合、\(\Delta U =Q+W \)で Q=0 であるから、W=⊿Uとなり、圧縮であれば気体がされた仕事は全て内部エネルギーの変化となり、気体の温度が上昇する。
ところで、P-Vグラフ上で右上にある等温曲線ほど温度が高い状態を表す。これは、理想気体の状態方程式 PV=nRT を考えれば明らかである。異なる等温曲線上の点を比較する場合、体積一定ならより上、圧力一定ならより右にある点ほど温度が高い。
それを念頭において、等温変化のP-V曲線と断熱変化のP-V曲線を比べてみる。等温変化のP-V曲線と断熱変化のP-V曲線が交わる点Bを起点として、気体を同じ体積だけ圧縮すると、上で述べたように等温変化では温度は変化しないが断熱変化では温度が上昇するので、断熱変化の場合の終点A'は等温変化の終点Aは同じP軸に平行な直線上に位置するが、A'の方がAよりも上に位置する。言いかえれば、断熱変化のグラフの方が等温変化のグラフよりも傾きが急である。
単位量当たりの物質の温度を一定量(通常1K)上げるのに必要な熱量を比熱という。固体や液体について比熱を考えた時は、単位質量(g)の物質を1K上昇されるための熱量を、calまたはJ単位で考えた。気体の場合、単位量としてモルを使う。物質1molの温度を1K上げるために必要な熱量をモル比熱という。すなわち、物質n(mol)の温度を⊿T(K)上昇させるために必要な熱量は、モル比熱を \( C (\flatfrac{J}{mol \dot K}) \)とすると、 \begin{eqnarray} Q = nc \Delta T (J) \end{eqnarray} ここで、定積変化では、\(\Delta U =Q+W \)で W=0 であるから、定積変化におけるモル比熱(これを定積モル比熱という)を\( C_V \)とすると、 \begin{eqnarray} \Delta U = Q = nC_v \Delta T (J) \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} C_v = \flatfrac{\Delta U}{n \Delta T } \end{eqnarray} 定圧変化では、 \begin{eqnarray} \Delta U = Q + W = Q + p⊿V = nC_p \Delta T + p⊿V (J) \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} C_p = \flatfrac{\Delta U}{n \Delta T } + \flatfrac{p \Delta V}{n \Delta T } \end{eqnarray} ここで、右辺の第1項は\( C_V \)、第2項は気体の状態方程式より R であるから、 \begin{eqnarray} C_p = C_V + R \end{eqnarray} となる。この式を、マイヤーの関係という。
内部エネルギーの変化は気体の温度変化のみによって決まるので、\(\Delta U = Q = nC_v \Delta T \)
は定積変化でなくても成り立つ。また、単原子分子でなくても理想気体であれば成り立つ。マイヤーの式も、単原子分子の気体に限らず、理想気体一般について成り立つ。(これらの式を導くのに使ったのは熱力学第一法則の式と理想気体の状態方程式だけで、単原子分子の気体についてのみ成り立つ式は用いていない。)2個の電荷間に働く力の大きさは、その2つの電荷の電荷の大きさの積に比例し、電荷間の距離の二乗に反比例する。力の作用線は2つの電荷を結ぶ直線であり、2つの電荷が同符号であれば退け合う向き、同符号であれば引き合う向きである。
(「電荷」という言葉は、ある帯電体を意味することもあれば、その帯電体が持っている電気の量を意味することもある。上の文では「電荷」という言葉は基本的に前者の意味で用い、後者の意味については「電荷の大きさ」と言っているが、同じ言葉を二つの意味で用いるのは少々紛らわしい。「荷電粒子」という言葉を使えば前者の意味であることがはっきりするが、「粒子」という言葉には原子やそれに準ずるような「非常に小さなもの」という意味合いがあり、クーロンが実験に用いた金属球は、人間の身体を基準としたスケールでは小さいにしろ、原子などと比べると桁違いに大きなものであることを考えると、この表現は少し不適切に感じられる。そこで、力学で用いる「質点」と近い表現として、「点電荷」という言葉を使えば、実際の帯電体の大きさを問題にしているのではなく、あくまで仮構上のこととして大きさがないものとして扱っているということがはっきりして、よりよいのではないかと思われる。力学では、太陽や地球のような巨大なものでも、その質量が重心に集中した体積の無い点と考えてその運動を考察してきた。それと同様に、帯電体についても、電荷が一点に集中した体積の無い仮想上の物体を考えるということである。ただし、質量の分布と異なり、導体中の電荷はその表面にだけ分布している(このこともクーロンの発見になる)ことには注意を要する。また、前述のように、静電気力は万有引力と比べると極めて強い力である。そのため、静電気力について考える際には、帯電している物体の形状が、力学における場合よりも重要になる。)
これがクーロンの法則である。式(とりあえずはスカラー式)で表すと、Q(C)の電荷とq(C)の電荷をr(m)離して置いたときに働く力は、 \begin{eqnarray} F = k \frac{Qq}{r^2} (N) \end{eqnarray} \(となるというものである。ここで、kはクーロンの法則の比例定数であり、真空中における値 k_0 は約 8.987552 \times 10^9 ( N \cdot \frac{m^2}{C^2} ) である。真空の透磁率 ε_0 を用いると、k = \frac{1}{4πε_0} であるので、クーロンの法則は \) \begin{eqnarray} F = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Qq}{r^2} (N) \end{eqnarray} と表せる。\( ε_0 = 8.85418782 \times 10^{-12} (F/m) である。後に出てくる真空の透磁率 μ_0 及び光速 c との間に、c=\frac{1}{\sqrt{ε_0 μ_0}} という関係がある。\) \(ベクトル式を用いると、\vec{r} を一方の電荷から他方の電荷に向かう向きの大きさrのベクトル、\vec{e} を その向きの単位ベクトルとして\) \begin{eqnarray} \vec{F} = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Qq}{r^3} \vec{r} = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Qq}{r^2} \vec{e} (N) \end{eqnarray} となる。
クーロンの法則は実験的に確かめられたもので、他の法則から導かれたものではない。クーロンの法則は1785年にクーロン(Charles-Augustin de Coulomb)による3本の論文で発表された。(なお、これより先の1773年にキャベンディッシュが゜既に同じ法則を実験から導いていたが、キャベンディッシュはこれを発表しなかった。)クーロンは、自作の捩れ秤を用いてこの実験を行ったが、後代に行われた再現実験によれば、その捩れ秤でこの法則を確定できるほどの精度は出せないらしい。同様のことは、ガリレオによる加速度の実験の際にも見られたが、実験結果よりも、恐らくは万有引力との類似から、このようになるはずだという信念でこの式は導かれたらしい。現在では、精緻な実験装置により確かにこの法則に従う結果が得られることが確認されている。
ここで、まず何もない空間にQ(C)の電荷を固定することを考える。そして、この電荷からr(m)離れた点に新たにq(C)の電荷を奥とこの新たに置かれた正電荷(これを試験電荷と呼ぶことにする)が受ける力の大きさは、上で見たとおり、 \begin{eqnarray} \vec{F} = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Qq}{r^2} \vec{e} (N) \end{eqnarray} である。単位電荷(1Cの電荷)が受ける力であれば、上の式をqで割って、 \begin{eqnarray} \vec{F} = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \vec{e} (N) \end{eqnarray} となる。すなわち、単位電荷が受ける力の大きさはもとからあった電荷からの距離のみの関数となり、力の方向を表す \( \vec{e} \) はもとからあった電荷と新たに置かれた試験電荷との相対的な位置のみで決まる。もとからあった電荷の位置は固定されているから、この電荷がある点を原点にとれば、 \( \vec{e} \) は試験電荷の位置のみの関数となる。結局、試験電荷が受ける力は、その大きさも向きも試験電荷の位置のみで決まることになる。
上では、空間中にもともと1つの点電荷のみが存在しているとしたが、複数の点電荷が存在している場合も同様に考えることができる。空間にもともと複数の点電荷が存在していれば、新たに置かれた試験電荷が受ける力は、それらの各個の点電荷から受ける力のベクトル和となる。すなわち、試験電荷が 1,2,...,n 番目のもとからあった電荷から受ける力を \( \vec{F_1},\vec{F_2}, \cdots ,\vec{F_n} とすると、試験電荷が受ける合力 \vec{F} は、\) \begin{eqnarray} \vec{F} = \vec{F_1}+\vec{F_2} + \cdots \vec{F_n} = \sum_{ i = 1 }^{ n } \vec{F_i} (N) \end{eqnarray} もとからあった点電荷の電荷が \(Q_1, Q_2, \cdots Q_n\) (C) であり、それらと試験電荷との距離がそれぞれ \( r_1, r_2, \cdots, r_n \) (m) であるとすると、1(C) の試験電荷が受ける力は、 \begin{eqnarray} \vec{F} = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Q_1}{r_1^2} + \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Q_2}{r_2^2} + \cdots \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Q_n}{r_n^2} = \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Q_i}{r_i+^2} (N) \end{eqnarray}
上記のように、空間にあらかじめいくつかの点電荷があれば、そこに新たに置かれた試験電荷が受ける力は一意的に定まる。もとからあった帯電体が一つの点とはみなせないような大きさのあるものであれば、試験電荷が受ける力はその帯電体を分割した無限小の点電荷から受ける力の和となる。(無限小に分割した場合、積分をして力を求めることになる。)すなわち、どのような帯電体が空間に存在しても、試験電荷が受ける力は試験電荷の位置座標のみによって決まることになる。
すると、空間の各点に、そこに置かれた単位電荷が受ける力を一対一対応させることができる。力はベクトルであるから、空間の各点について、その点に対応するベクトルを決定することができる。
このような空間を、「ベクトル場」という。そして、上で見てきたような、空間の各点に対してそこに置かれた単位電荷が受ける力を対応させるベクトル場を「電場」という。ベクトル場としては、電場以外に、その点に置かれた質点が受ける重力を対応させる重力場や、その点における風の向きと速さを対応させる場(特に名前はない)なども考えることができる。また、「ベクトル場」があるからには「スカラー場」もあって、たとえば、大気中のある点における気温や、その点を中心とする微小体積におけるある物質(例えば窒素酸化物)の濃度を対応させる場などが考えられる。
(なお、上では、「もとからあった電荷」、「新たに置いた電荷」などの表現を用いているが、空間のその場所に電荷が置かれた時間的な順序は問題ではない。関心の対象として一つの電荷を選び、その電荷がそれ以外の全ての電荷から受ける力を考えるということである。だから、「空間のある場所にもともと試験電荷があり、そこにその他すべての電荷をある配置でもってきたら、試験電荷はどのような力を受けるか」と考えても同じことである。どちらで考えても、1(C) の試験電荷が受ける力は一意的に定まる。)
万有引力が発見された17世紀末以来、万有引力は離れた場所にある物体に対して直接に瞬間的に作用する力であると円が獲られてきた。このような力を、「遠隔力」と呼ぶ。そして、クーロン力も最初は万有引力と同じ遠隔力であると考えられていたのである。しかし、19世紀半ば以降、空間にある電荷が出現すると、その電荷の存在により周囲の空間の「場」が変化し、空間に存在するその他の物体はそれが接している「場」から力を受けるのだと考えられるようになった。そして、空間にそれまだなかった電荷が出現してから、周囲の空間の電場が変化し、そしてその電場から他の電荷が力を受けるまでには、ごく僅かだが時間差があると考えられている。そのような性質の力を、「近接力」と呼ぶ。そして、現在では万有引力も近接力であると考えられている。
上で見たように、空間にあらかじめ置かれる電場を決めると、空間内の各点の電場ベクトルが一意的に定まる。イメージとしては、空間内が無数の小さな矢印で埋め尽くされた状態になる。ただ、「無数の小さな矢印」ではかなり描きにくい。また、電場の強さを定量的に表したいという欲求もある。そこで、より簡単に電場の様子を可視化し、かつそれを電場の強さを表すものとするために、「電気力線」なるものが考えられている。
電気力線とは、「曲線上の各点におけるその曲線の接線方向が、その点における電場の向きであるような曲線群」である。その描き方は、具体的には次のようにする。
電荷が3つ以上ある場合は状況はより複雑になるが、基本的には上と同様である。例えば +5(C) の正電荷、-2(C) の負電荷、-1(C) の負電荷の3つがある場合、正電荷の位置から発した電気力線の 2/5 は -2(C) の負電荷の位置へ、1/5 は -2(C) の負電荷の位置へ、残る 2/5 は 無限遠方へ向かう。
電気力線には、
電気力線は仮想上のものなので見ることはできないが、その形をつかむには、電気力線と同じく上の3つの性質を持っている磁力線を見ればよい。磁力線もやはり仮想上のものであり、それ自体は目に見えないが、紙の上に棒磁石を置き、その上に鉄粉を撒いて紙を叩くと、磁力線の形状の模様が見える。(ファラデーはこの実験が好きだったそうである。)この時の磁力線は、空間内に電荷の大きさの等しい正電荷と負電荷がある場合の電気力線と同じ形をしている。
なお、次に記すように、電気力線の本数は1(C)あたり 10^11 本というすさまじい本数になる。勿論こんな本数は描けないので、図を描くときには見やすいように8~16 本程度描けばよい。
電気力線の本数は、単位面積を垂直に貫く電気力線の本数が、その面がある点の電場の強さと一致するように決める。(もっとも、電場が先か電気力線が先かというのはどうでもよく、次に述べる式で電気力線の本数を決め、それを面積で割ると電場の強さになると考えてもよい。)すなわち、電場の強さを E, 電気力線の本数を N, 電気力線に垂直な面の面旗を S とすると、\(E=\frac{N}{S} \)となる。
真空中に Q (C) の正電荷があるとする。この正電荷から r (m) 離れた点における電場の強さは、 \begin{eqnarray} E = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Q}{r^2} (N/C) \end{eqnarray} \( 半径 r の球の表面積は S = 4πr^2 であるから、E=\frac{N}{S} より、\) \begin{eqnarray} N = ES = \frac{Q}{ε_0} (本) \end{eqnarray} \( となる。Q = 1 (C) とすると、N = \frac{1}{8.85418782 \times 10^{-12}} = 1.1294 /times 10^11 となる。\)
上では、点電荷から半径rの距離にある球面上の電場を考えたのであるが、これを一般化して、点電荷を内部に含む任意の形状の閉曲面上の電場はどのようになるであろうか。
Q (C) の点電荷をその内部に含む閉曲面 S を考える。そして、とりあえずの所、点電荷の位置(これをOとする)から発する半直線がこの曲面と交わるのはどの方向についても一度だけと考える。
この閉曲面 S 上の微小面積 dS を考える。そして、点 O から dS への距離を r とする。完全に閉曲面の内部にある半径1の単位球 Ω を考え、その単位球上の微小面積 dΩ を考える。そして、dΩ の S への射影が dS であるとする。(言葉を変えていえば、 dS の縁と点電荷の位置を結ぶ円錐状の面を作ると、その面が単位球 Ω から切り取る面が dΩ であるということである。なお、ここで閉曲面 S 上の任意の点において点電荷の位置 O との距離が1以上であることを仮定しているが、このようにしても一般性を失わない。)
\( ここで、dS,dΩ は曲面の一部であるが、微小面積なので平らであると考えて差し支えない。そこで、dS の位置にあって、dΩ と平行な、即ち、原点 O から距離 r の位置にある球面から、dS の縁と点電荷の位置を結ぶ円錐状の面が切り取る微小面積を考え、これを dS' とする。そして、dS と dS' のなす角をθとする。円錐 O-dΩ と円錐 O-dS' は相似であるから、dΩ:dS'=1^2:r^2 である。よって、dS'=r^2 \cdot dΩ である。一方、dS'=dS \cdot cosθ であるから、dS \cdot cosθ = r^2 \cdot dΩ となる。 \)
\( さて、原点 O に Q(C) の点電荷があるとすると、この位置から放射状に電場ベクトルが出ていることになる。球の中心を通る直線は球面と垂直に交わるから、電場ベクトル \vec{E} は dΩ, dS' と垂直に交わることになる。今、dS に垂直で、閉曲面の外側方向に向かう単位ベクトルを \vec{n} とすると、\vec{E} \cdot \vec{n} = E \cdot cosθ である。\)
\( (あるベクトル \vec{a} と ある方向の単位ベクトル \vec{e} との内積を取るということの図形的な意味は、\vec{a} の \vec{e} 方向の成分の長さ(即ち、\vec{a} の \vec{e} と平行な直線への射影)を求めることである。) \)
すると、 \begin{eqnarray} \vec{E} \cdot \vec{n} dS = E \cdot cosθ dS = E \cdot dS' = E \cdot r^2 dΩ = \frac{1}{4πε_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \cdot r^2 dΩ = \frac{Q}{4πε_0}dΩ \end{eqnarray} となる。
\( (繰り返すが、この式の意味は、「dS の位置における、電場ベクトル \vec{E} の dS に垂直な方向の成分」である。) \)
\( ここで、閉曲面 S 全体にわたって、\vec{E} \cdot \vec{n} dS の和をとることを考える。無限小への極限を取った微小面積の足し合わせであるから、これは面積分で表される。すなわち、\)
\begin{eqnarray} (\vec{E} \cdot \vec{n} dS の閉曲面 S 全体の和)= \int_S \vec{E} \cdot \vec{n} dS \end{eqnarray} となる。
ここで、上の式変形から、このSについての積分は次のようにオメガについての積分に置換できる。 \begin{eqnarray} \int_S \vec{E} \cdot \vec{n} dS = \int_Ω \frac{Q}{4πε_0} dΩ = \frac{Q}{4πε_0} \int_Ω dΩ \end{eqnarray}
\( Ω は半径1の球面であるから、dΩ の和を曲面Ω全体にわたってとると、4π \cdot 1^2 = 4π。以上より、\) \begin{eqnarray} \int_S \vec{E} \cdot \vec{n} dS = \frac{Q}{4πε_0} \int_Ω dΩ = \frac{Q}{4πε_0} \cdot 4π = \frac{Q}{ε_0} \end{eqnarray} となる。
この式が、「ガウスの法則の積分形」であり、マックスウェル方程式の一つである。(マックスウェル方程式には4つあるが、それぞれについて積分形と微分形がある。)
\( さて、この式は何を意味しているのであろうか。電場の大きさ E とは、空間内のある微小面における電気力線の本数の面積密度であった。そして、\vec{E} \cdot \vec{n} とは、「dS の位置における、電場ベクトル \vec{E} の dS に垂直な方向の成分」であった。そして、それについて閉曲面 S 全体にわたる和を取ったのであるから、これは結局のところ、「閉曲面Sを内側から外側に貫く電気力線の本数」である。\)
\( すなわち、「ある閉曲面 S の内部に +Q (C) の電荷があれば、その閉曲面からは \frac{Q}{ε_0} 本の電気力線が出ている。」ということである。\)
\( (もし閉曲面 S の内部にあるのが -Q (C) の電荷があれば、その閉曲面に \frac{Q}{ε_0} 本の電気力線が吸い込まれているということになる。) \)
ところで、今まで、「電場ベクトルが閉曲面 S を貫くのは一度だけ」であることを前提にしてきたが、もし S が入り組んだ形状をしていて、一本の電気力線が閉曲面 S を何度も出たり入ったりしているとどうなるであろうか。
まず、閉曲面内部に正電荷があれば、閉曲面 S がどのような形をしていようとも、最終的には電場ベクトルは閉曲面の外に出ていくことになる。内側から外側に出ていくのが奇数の 2n+1 回、外側から中に入ってくるのが偶数の 2n 回となって、差引で一回だけ中から外に出て行くのである。そして、電荷のある位置を頂点とする円錐が閉曲面から切り取る面を考えると、電荷の位置からの距離 r の 2乗に反比例して電気力線の密度である電場の大きさは小さくなるが、一方で面積の大きさは r の 2乗に比例して大きくなる。結果として、両者の積である電気力線の本数は、どこでも変わらないことになる。結局、閉曲面がどのような形状をしていようとも中から外に出ていく電気力線の本数は変わらないことになる。(内部にあるのが負電荷の場合、「出ていく」を「吸い込まれる」と読み替えてほしい。)
\( 最後に、閉曲面の内部に複数の電荷がある場合を考える。電場はベクトルであり、それらについてベクトル和を考えることができるから、各電荷 Q_1,Q2,\cdots,Q_n (C) が作る電場ベクトルを \vec{E_1},\vec{E_2}, \cdots \vec{E_n} とし、それらの和を \vec{E} とすると、この閉曲面から出ていく電気力線の総数は、\) \begin{eqnarray} \int_S \vec{E} \cdot \vec{n} dS = \int_S (\vec{E_1}+\vec{E_2}+ \cdots +\vec{E_n}) = \frac{Q_1}{ε_0}+\frac{Q_2}{ε_0}+\cdots+\frac{Q_n}{ε_0} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{ε_0} \end{eqnarray} となる。
\( Q_1,Q2,\cdots,Q_n は(付合付きの)スカラーであるから、それらについてはスカラー和を取ることができ、Q= Q_1+Q2+\cdots+Q_n とすると、\) \begin{eqnarray} \int_S \vec{E} \cdot \vec{n} dS = \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{ε_0} = \frac{Q }{ε_0} \end{eqnarray} となる。
\( 上は有限個の点電荷がある場合を考えたのだが、閉曲面内の領域Vに無限個の電荷が体積密度 ρ(\frac{C\m^3}で分布している場合も同じである。このとき、閉曲面内の総電荷は Q = \iiint_V ρ dV であるから、上と同じ式が成り立つ。\)
以上より、閉曲面がどんな形をしていても、また閉曲面内部に有限個の点電荷があっても非加算の電荷が分布しているのであっても、内部にあるのが正味 Q (C) の電荷であれば、この閉曲面から出ていく(または吸い込まれる)電気力線の本数は、\) \begin{eqnarray} \int_S \vec{E} \cdot \vec{n} dS = \frac{Q}{ε_0} \end{eqnarray} となるのである。
この式が、「ガウスの法則の積分形」であり、マックスウェル方程式の一つである。(マックスウェル方程式には4つあるが、それぞれについて積分形と微分形がある。4つの方程式には個別の名前はないが、仮にこれをマックスウェルの第1方程式と呼んでおく。)
\( なお、電場\vec{E}の代わりにこれに ε_0 をかけた電束\vec{D}を考えると、「内部にQ(C)の電荷がある閉曲面からはD本の電束が出ている」、すなわち、\) \begin{eqnarray} \int_S \vec{D} \cdot \vec{n} dS = Q \end{eqnarray} とすることもできる。このように、マックスウェルの第1方程式は電束を使って表すこともある。
なお、電場と電束には、 ε_0 をかけるかどうかという違い以外に、誘電体の中を通る場合に違いが生じるのだが、そのことについては後述。
\( 微小体積 V=ΔxΔyΔz を考る。この位置における電荷密度が ρ(\frac{C}{m^3}) であるとすると、この微小体積内の電荷 ΔQ は、\) \begin{eqnarray} ΔQ = ρV = ΔxΔyΔz \end{eqnarray} である。
\( ここで、\vec{E} = \left(\begin{array}{c} E_x \\ E_y \\ E_z \end{array}\right) とし、その各成分を位置(x,y,z)の関数として表す。すなわち、位置(x_1,y_1,z_1)における \vec{E}のx成分を E_x(x_1,y_1,z_1) のように表す。すると、 ΔQ が作る電場は、\)
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